TEST n°4.

ccc

1- Déterminer l'expression du carré de la fréquence de résonnance charge, `f_R^2,` du circuit résonant RLC série en fonction des paramètres du circuit.

Réponse

## f_R^2=f_0^2-2\left(\dfrac{δ}{2π}\right)^2 \implies ##

## f_R^2=\dfrac1{4π^2 LC}-2\left(\dfrac{R_V+R}{4πL}\right)^2 ##

`R_{Vi}(kΩ)`	`0 ,200`	`0,500`	`1,00`	`2,00`	`3,00`	`4,00`	`5,00`	`6,00`
`f_{Ri}(kHz)`	`9,80`	`9,72`	`9,54`	`9,01`	`8 ,20`	`7,03`	`5,26`	`1,98`
`f_{Ri}^2 ((kHz)^2)`	``	``	``	``	``	``	``	``	``

`R_{Vj}=\frac{R_{Vi+1}+R_{Vi}}{2} (kΩ)`	``	``	``	``	``	``	``	``
`τ_j=\frac{f_{R i+1}^2- f_{Ri}^2 }{R_{V i+1}-R_{Vi} }((kHz)^2 (kΩ)^{-1})`	``	``	``	``	``	``	``	``

2- Remplir les 2 tableaux et tracer le graphe `τ=h(R_V).` Télécharger le papier gradué linéaire
Que représentent τ et la courbe tracée. En déduire l'équation `τ=h(R_V).`

Réponse

`R_{Vi}(kΩ)`	`0 ,200`	`0,500`	`1,00`	`2,00`	`3,00`	`4,00`	`5,00`	`6,00`
`f_{Ri}(kHz)`	`9,80`	`9,72`	`9,54`	`9,01`	`8 ,20`	`7,03`	`5,26`	`1,98`
`f_{Ri}^2 ((kHz)^2)`	`96,10 `	`94,49`	`91,03`	`81,14`	`67,28`	`49,47`	`27,71`	`3 ,92`

`R_{Vj}=\frac{R_{Vi+1}+R_{Vi}}{2} (kΩ)`	`0 ,350`	`0,750`	`1,50`	`2,50`	`3,50`	`4,50`	`5,50`
`τ_j=\frac{f_{R i+1}^2- f_{Ri}^2 }{R_{V i+1}-R_{Vi} }((kHz)^2 (kΩ)^{-1})`	`-5,20`	`-6,94`	`-9,83`	`-13,9`	`-17,8`	`-21,8`	`-25,8`

ccc

`τ` est le taux d'accroissement fini de `f_R^2` par rapport à `R_V.` La courbe dessinée est celle de la dérivée de `f_R^2` par rapport à `R_V.`
La courbe obtenue est une droite dont la forme générale est : `τ=a R_V+b.` On détermine graphiquement la valeur de la pente 'a' de la droite et la valeur de l'ordonnée à l'origine 'b'.
On choisit deux points de cette droite assez éloignés de coordonnées `(0,35` ; `25,8)` et `(5,5` ; `5,20)` pour calculer la valeur de a :

## a=\dfrac{25,8-5,20}{0,35-5,5} \implies ##

## a=-4 (kHz)^2/(kΩ)^2 \implies ##

## a=-4 Hz/Ω. ##

La valeur de b est obtenue en extrapolant la courbe jusqu'à ` R_V=0 kΩ` : ##b=- 4000 Hz^2/Ω .##

L'équation de la droite est :

## τ=-4 R_V- 4000 ##

où ## \tau## est en ##Hz^2/Ω## et ## R_V ## est en ##Ω.##

3- Calculer l'inductance `L` de la self,la résistance R, la capacité `C` du condensateur et la fréquence propre `f_0` du cicuit électrique.

Réponse

L'équation théorique de `\tau` est obtenue en dérivant `f_R^2` par rapport à `R_V.`

## τ=\dfrac{df_R^2}{dR_V} \implies ##

## τ=\left(\dfrac{-4}{4πL}\right)\left(\dfrac{R_V+R}{4πL}\right) \implies ##

## τ=-\dfrac{1}{4π^2L^2}R_V-\dfrac{R}{4π^2L^2} \implies ##

## \begin{cases} a=-\dfrac{1}{4π^2L^2}\\ b=-\dfrac{R}{4π^2L^2} \end{cases} ##

On reporte les valeurs de a et b dans les équations du sytème précédent :

## \begin{cases} 4=\dfrac{1}{4π^2L^2}\\ 4000=4R \end{cases} \implies ##

## \begin{cases} L=\sqrt{\dfrac{1}{4\timesπ^2\times4}}\\ R=1000 \Omega \end{cases} \implies ##

## \begin{cases} L=79,6 mH\\ R=1,00 k\Omega \end{cases} ##

On détermine l'expression de `C` à partir de l'équation obtenue en 1.

## f_R^2=\dfrac1{4π^2 LC}-2\left(\dfrac{R_V+R}{4πL}\right)^2 \implies ##

## 4π^2 Lf_R^2=\dfrac1{C}-8π^2 L\left(\dfrac{R_V+R}{4πL}\right)^2 \implies ##

## 4π^2 Lf_R^2=\dfrac1{C}-\dfrac{\left(R_V+R\right)^2}{2L} \implies ##

## \dfrac1{C}=4π^2 Lf_R^2+\dfrac{\left(R_V+R\right)^2}{2L} \implies ##

## C=\dfrac1{4π^2 Lf_R^2+\dfrac{\left(R_V+R\right)^2}{2L}} ##

D'après le tableau lorsque `R_V=1000` `\Omega` on a `f_R^2 = 91,03\times 10^6` `Hz^2`

## C=\dfrac1{4\timesπ^2 \times0,0796\times91,03\times10^6+\dfrac{\left(1000+1000\right)^2}{2\times0,0796}} \implies ##

## C= 3,21 nF ##

## f_0=\dfrac1{2π\sqrt{LC}} \implies ##

## f_0=\dfrac1{2\timesπ\times\sqrt{0,0796\times3,21\times10^{-9}}} \implies ##

## f_0=9,96 kHz ##

Régime Permanent 1 Degré de Liberté°

TEST n°4.